検察側に犯人を引き渡すのは警察の仕事だけど
それも告訴というんじゃない？

警察と検察は違うよ
警察は犯罪行為があったかどうかを確認する人
検察は犯罪行為をさらに調査して法に照らし合わせて裁く人